Test: Algebra. Ecuaciones de primer y segundo grado. Sistemas de ecuaciones. Proporcionalidad. Regla de tres. Porcentajes

Este tema pertenece al bloque de matemáticas del proceso selectivo regulado por la Orden DEF/1756/2016, de 28 de octubre. Las pruebas de selección para tropa y marinería incluyen una fase de conocimientos generales donde el álgebra básica, las ecuaciones y la proporcionalidad tienen presencia constante. Dominar estos contenidos es imprescindible para superar el examen escrito.

Marco normativo

La Orden DEF/1756/2016, de 28 de octubre, regula los procesos de selección para el ingreso en los centros docentes militares de formación para la incorporación a las escalas de tropa y marinería de las Fuerzas Armadas. Esta norma establece que las pruebas de selección incluyen una prueba de conocimientos generales de nivel de Educación Secundaria Obligatoria (ESO), dentro de la cual se encuadran los contenidos matemáticos de este tema.

Estructura del tema

El tema se divide en cinco grandes bloques:

1. Álgebra: conceptos fundamentales
2. Ecuaciones de primer grado
3. Ecuaciones de segundo grado
4. Sistemas de ecuaciones
5. Proporcionalidad, regla de tres y porcentajes

Conceptos clave

1. Álgebra: fundamentos

El álgebra es la rama de las matemáticas que utiliza letras (llamadas incógnitas o variables) para representar cantidades desconocidas.

• Monomio: expresión algebraica con un solo término. Ejemplo: 3x²
• Polinomio: suma de monomios. Ejemplo: 2x² + 3x - 5
• Ecuación: igualdad entre dos expresiones que contiene al menos una incógnita. Solo se cumple para ciertos valores de esa incógnita.
• Solución o raíz: valor de la incógnita que hace verdadera la ecuación.

2. Ecuaciones de primer grado

También llamadas ecuaciones lineales. La incógnita aparece con exponente 1.

Forma general: ax + b = 0, con a ≠ 0

Solución: x = -b / a

Pasos para resolver:

• Eliminar paréntesis aplicando la propiedad distributiva.
• Eliminar denominadores multiplicando por el mínimo común múltiplo (mcm).
• Agrupar términos con la incógnita a un lado y los términos independientes al otro.
• Despejar la incógnita.

Ejemplo tipo examen: 2x + 5 = 11 → 2x = 6 → x = 3

3. Ecuaciones de segundo grado

La incógnita aparece con exponente 2 como máximo.

Forma general: ax² + bx + c = 0, con a ≠ 0

Tipos:

• Completa: aparecen los tres términos (a, b y c distintos de cero).
• Incompleta sin término independiente (c = 0): se resuelve sacando factor común x.
• Incompleta sin término lineal (b = 0): se despeja x² directamente.

Fórmula general (fórmula cuadrática):

x = (-b ± √(b² - 4ac)) / 2a

El discriminante es Δ = b² - 4ac:

• Si Δ > 0: dos soluciones reales distintas.
• Si Δ = 0: una solución real doble (dos soluciones iguales).
• Si Δ < 0: no hay soluciones reales (soluciones complejas, no se piden en este nivel).

Ejemplo tipo examen: x² - 5x + 6 = 0 → a=1, b=-5, c=6 → Δ = 25 - 24 = 1 → x = (5 ± 1) / 2 → x₁ = 3, x₂ = 2

4. Sistemas de ecuaciones

Un sistema de ecuaciones es un conjunto de dos o más ecuaciones con dos o más incógnitas que deben satisfacerse simultáneamente.

Tipos de sistemas (por el número de soluciones):

• Compatible determinado: tiene una única solución.
• Compatible indeterminado: tiene infinitas soluciones.
• Incompatible: no tiene solución.

Métodos de resolución de sistemas de dos ecuaciones con dos incógnitas:

• Sustitución: se despeja una incógnita en una ecuación y se sustituye en la otra.
• Igualación: se despeja la misma incógnita en ambas ecuaciones y se igualan las expresiones resultantes.
• Reducción (o eliminación): se suman o restan las ecuaciones (multiplicadas si es necesario) para eliminar una incógnita.

Ejemplo tipo examen (sustitución):

x + y = 5
x - y = 1

De la segunda: x = 1 + y Sustituyendo en la primera: 1 + y + y = 5 → 2y = 4 → y = 2 → x = 3

5. Proporcionalidad

Razón: cociente entre dos cantidades. a/b

Proporción: igualdad entre dos razones. a/b = c/d

En una proporción, el producto de los extremos es igual al producto de los medios: a · d = b · c

Proporcionalidad directa: cuando al multiplicar una cantidad por un número, la otra también se multiplica por ese mismo número. La razón entre ambas es constante: y/x = k

Proporcionalidad inversa: cuando al multiplicar una cantidad por un número, la otra se divide por ese mismo número. El producto de ambas es constante: x · y = k

6. Regla de tres

Herramienta para resolver problemas de proporcionalidad entre tres datos conocidos y uno desconocido.

Regla de tres simple directa: Si a corresponde a b, ¿cuánto corresponde a c? x = (b · c) / a

Regla de tres simple inversa: Se aplica cuando las magnitudes son inversamente proporcionales. x = (a · b) / c

Regla de tres compuesta: intervienen más de dos magnitudes. Se aplica una regla de tres por cada par de magnitudes, teniendo en cuenta si cada relación es directa o inversa.

Ejemplo tipo examen (directa): Si 3 obreros hacen un trabajo en 12 días, ¿cuántos días tardan 4 obreros? → Relación inversa (más obreros, menos días) → x = (3 · 12) / 4 = 9 días

7. Porcentajes

Un porcentaje expresa una cantidad como fracción de 100.

Conversiones:

• Porcentaje a decimal: dividir entre 100. Ejemplo: 35% = 0,35
• Decimal a porcentaje: multiplicar por 100. Ejemplo: 0,75 = 75%

Calcular el porcentaje de una cantidad: % de A = (% / 100) · A

Calcular qué porcentaje representa una parte del total: % = (parte / total) · 100

Aumento porcentual: Valor final = Valor inicial · (1 + %/100)

Descuento porcentual: Valor final = Valor inicial · (1 - %/100)

Datos numéricos y plazos que más se preguntan

• La fórmula cuadrática: x = (-b ± √(b² - 4ac)) / 2a — memorización obligatoria.
• El discriminante Δ = b² - 4ac determina el número de soluciones reales.
• En una proporción: producto de extremos = producto de medios.
• Porcentaje a decimal: dividir entre 100 (no entre 10, error frecuente).
• En la regla de tres inversa: más de una magnitud implica menos de la otra.

Errores típicos del opositor

• Confundir proporcionalidad directa e inversa en la regla de tres: identificar siempre primero si al aumentar una magnitud la otra aumenta (directa) o disminuye (inversa).
• Olvidar el signo negativo al aplicar la fórmula cuadrática cuando b es positivo: el término es -b, no b.
• No comprobar las soluciones de una ecuación sustituyendo en la ecuación original, especialmente en las de segundo grado.
• Confundir descuento con precio final: el descuento es la cantidad que se resta, no el precio resultante.
• Errores con el mcm al eliminar denominadores en ecuaciones de primer grado: multiplicar todos los términos, incluidos los que no tienen denominador.
• En sistemas: no sustituir correctamente cuando hay signos negativos en la expresión despejada.

Trucos mnemotécnicos

• “Extremos por medios”: en a/b = c/d, los extremos son a y d (los de fuera), los medios son b y c (los de dentro). a·d = b·c.
• Discriminante: recuerda “b cuadrado menos cuatro ac”. Si el resultado es negativo, no hay solución real: “bajo cero, sin solución en lo real”.
• Regla de tres inversa: piensa en obreros y días. Más obreros → menos días. Si la lógica dice “más es menos”, es inversa.
• Porcentaje: “por ciento” = “de cada cien”. Para pasar a decimal, corre la coma dos lugares a la izquierda: 45% → 0,45.
• Métodos de sistemas: Sustitución, Igualación, Reducción → SIR (como un caballero que resuelve el problema).