Test: Aritmetica. Numeros naturales, enteros, racionales y reales. Operaciones basicas. Potencias y raices. Fracciones. Sistema metrico decimal

Este tema forma parte del bloque de cultura general y conocimientos básicos que evalúa la prueba de selección para el ingreso en las Fuerzas Armadas como Tropa y Marinería, conforme a la Orden DEF/1756/2016, de 28 de octubre. El dominio de la aritmética elemental es imprescindible para superar el examen tipo test, donde los errores de cálculo o de concepto son la causa más frecuente de pérdida de puntos.

Marco normativo

• Orden DEF/1756/2016, de 28 de octubre, por la que se aprueban las normas de selección para el ingreso en los centros docentes militares de formación. Establece el contenido de las pruebas de selección, incluyendo materias de cultura general entre las que figura la aritmética básica.
• Real Decreto 2032/2009, de 30 de diciembre, por el que se establecen las unidades legales de medida en España. Transpone la normativa europea sobre el Sistema Internacional de Unidades (SI) y fija las unidades de medida de uso obligatorio.

Conjuntos numéricos

Números naturales (ℕ)

Son los números enteros positivos, incluyendo el cero según la convención moderna: 0, 1, 2, 3, …

• Se usan para contar y ordenar.
• No tienen decimales ni signo negativo.
• Operaciones cerradas en ℕ: suma y multiplicación (el resultado siempre es natural).
• La resta y la división no siempre dan resultado natural (5 − 8 o 3 ÷ 7 salen del conjunto).

Números enteros (ℤ)

Incluyen los naturales, el cero y los negativos: … −3, −2, −1, 0, 1, 2, 3, …

• Permiten representar deudas, temperaturas bajo cero, altitudes negativas.
• La suma, resta y multiplicación son operaciones cerradas en ℤ.
• La división sigue sin ser cerrada (7 ÷ 2 = 3,5, que no es entero).

Números racionales (ℚ)

Son los que se pueden expresar como cociente de dos enteros p/q, con q ≠ 0.

• Incluyen enteros, fracciones y decimales exactos o periódicos.
  • Decimal exacto: 0,25 = 1/4
  • Decimal periódico puro: 0,333… = 1/3
  • Decimal periódico mixto: 0,1666… = 1/6
• Un decimal periódico siempre es racional.

Números reales (ℝ)

Incluyen todos los racionales más los irracionales.

• Irracionales: no pueden expresarse como fracción p/q. Su decimal es infinito y no periódico.
  • Ejemplos clásicos: √2, √3, π, el número e.
• La recta numérica completa está formada por los números reales.
• Relación de inclusión: ℕ ⊂ ℤ ⊂ ℚ ⊂ ℝ

Operaciones básicas

Suma y resta

• Propiedad conmutativa: a + b = b + a.
• Propiedad asociativa: (a + b) + c = a + (b + c).
• Elemento neutro de la suma: 0.

Multiplicación y división

• Propiedad conmutativa de la multiplicación: a × b = b × a.
• Elemento neutro de la multiplicación: 1.
• División por cero: operación no definida. Nunca se puede dividir entre 0.
• Prioridad de operaciones: primero paréntesis, luego potencias y raíces, luego multiplicación y división (de izquierda a derecha), finalmente suma y resta.

Potencias y raíces

Potencias

• aⁿ = a multiplicado por sí mismo n veces. «a» es la base; «n» es el exponente.
• Propiedades fundamentales:
  • Producto de potencias de igual base: aᵐ · aⁿ = aᵐ⁺ⁿ
  • Cociente de potencias de igual base: aᵐ ÷ aⁿ = aᵐ⁻ⁿ
  • Potencia de una potencia: (aᵐ)ⁿ = aᵐ·ⁿ
  • Todo número elevado a 0 es 1 (excepto 0⁰, que es indeterminado).
  • Todo número elevado a 1 es él mismo.
  • Exponente negativo: a⁻ⁿ = 1/aⁿ

Raíces

• La raíz n-ésima de a es el número que, elevado a n, da a.
• Raíz cuadrada (√): el más frecuente en los exámenes.
  • √25 = 5, porque 5² = 25.
• Relación con potencias: √a = a^(1/2); ⁿ√a = a^(1/n).
• La raíz cuadrada de un número negativo no existe en los reales.

Fracciones

Conceptos básicos

• Fracción: expresión p/q donde p es el numerador y q el denominador (q ≠ 0).
• Fracción propia: numerador < denominador (ej. 3/5).
• Fracción impropia: numerador ≥ denominador (ej. 7/3).
• Número mixto: parte entera + fracción propia (ej. 2 y 1/3).

Simplificación y amplificación

• Simplificar: dividir numerador y denominador por su Máximo Común Divisor (MCD).
  • 12/18 → MCD(12,18) = 6 → 2/3
• Amplificar: multiplicar numerador y denominador por el mismo número (no cambia el valor).

Operaciones con fracciones

• Suma y resta con igual denominador: se suman/restan los numeradores.
• Suma y resta con distinto denominador: se calcula el Mínimo Común Múltiplo (mcm) de los denominadores y se reducen a denominador común.
• Multiplicación: numerador × numerador / denominador × denominador.
• División: se multiplica en cruz (primera fracción × inversa de la segunda).

Fracción inversa o recíproca

• La inversa de p/q es q/p. El producto de una fracción por su inversa es siempre 1.

Sistema métrico decimal

El Real Decreto 2032/2009, de 30 de diciembre, establece las unidades legales de medida en España, basadas en el Sistema Internacional de Unidades (SI).

Unidades básicas del SI más relevantes para el examen

• Longitud: metro (m)
• Masa: kilogramo (kg)
• Tiempo: segundo (s)
• Temperatura: kelvin (K) — aunque en uso cotidiano se emplea el grado Celsius (°C)
• Intensidad de corriente eléctrica: amperio (A)

Prefijos del sistema métrico decimal

• kilo- (k): × 1.000 (10³) → 1 km = 1.000 m
• hecto- (h): × 100 (10²)
• deca- (da): × 10 (10¹)
• unidad base: × 1 (10⁰)
• deci- (d): × 0,1 (10⁻¹)
• centi- (c): × 0,01 (10⁻²) → 1 cm = 0,01 m
• mili- (m): × 0,001 (10⁻³) → 1 mm = 0,001 m

Conversiones más frecuentes en el examen

• 1 km = 1.000 m = 100.000 cm
• 1 m = 100 cm = 1.000 mm
• 1 kg = 1.000 g
• 1 tonelada métrica = 1.000 kg
• 1 litro (L) = 1 dm³ = 1.000 cm³ = 1.000 mL
• 1 hora = 60 minutos = 3.600 segundos

Datos numéricos y plazos que más se preguntan

• El cero no es positivo ni negativo; es entero y natural (según convención moderna).
• π ≈ 3,1416 (irracional).
• √2 ≈ 1,414 (irracional).
• La jerarquía de operaciones: paréntesis → potencias/raíces → × y ÷ → + y −.
• El MCD se usa para simplificar fracciones; el mcm para sumarlas con distinto denominador.
• Conversión de unidades: al pasar a una unidad mayor se divide; a una menor se multiplica.

Errores típicos del opositor

• Confundir número irracional con número negativo. Los negativos son racionales si son enteros o fraccionarios.
• Creer que 0,999… ≠ 1. Matemáticamente, 0,999… = 1 (son la misma cantidad).
• Olvidar que la división entre cero no está definida (no es infinito, es una operación imposible).
• Sumar fracciones sumando numeradores y denominadores por separado: error grave. 1/2 + 1/3 ≠ 2/5.
• Confundir masa (kg) con peso (N, newton). En el SI, el peso es una fuerza; la unidad de masa es el kilogramo.
• Al convertir unidades, multiplicar cuando se debe dividir (o viceversa). Regla: más pequeño → más cantidad → se multiplica.

Trucos mnemotécnicos

• Conjuntos anidados: «Naturales Entran Quedando Reales» → ℕ ⊂ ℤ ⊂ ℚ ⊂ ℝ.
• Prefijos métricos (de mayor a menor): «Kilo Hecto Deca Unidad Deci Centi Mili» → KHDa U DCM → «Karl Heinz Dance Under Dark Cold Moon».
• Jerarquía de operaciones: «Primero Paréntesis, Potencias, Productos, Por último sumas» (las cuatro P).
• Fracción inversa: «dale la vuelta» — para dividir fracciones, invierte la segunda y multiplica.
• Irracional: si la raíz cuadrada de un entero no es exacta, el resultado es irracional (√2, √3, √5, √6, √7…).